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【课程编号】070022 复变函数A教学大纲 Complex Variable Functions 【学 分】4 【参考学时】64 【编 写】李园庭 【审 核】郑华盛 （一） 授课对象 四年制本科数学与应用数学、信息与计算科学专业。 （二）课程的性质和地位 复变函数论是数学与应用数学与应用数学专业及信息与计算科学专业的一门学科基础必修课。 复变函数论是微积分理论的进一步深入，除了将微积分理论中的实数域推广到复数域外，其研究内容更为广泛。复变函数的理论和方法对于其它数学学科、物理、力学及工程技术中某些问题都有广泛的应用。复变函数论是一门古老而当今仍具有强大活力的学科，它是现代分析的基础，在微分方程、积分方程、泛函分析、计算机科学、空气动力学、流体力学和理论物理等分支有重要的应用。 学习本课程学生需要有数学分析、高等代数等课程的基础。先修课程数学分析、高等代数等。 （三）课程教学的目的 通过本课程的学习，能提高学生独立地分析和解决某些有关理论和实际问题的能力。同时，还能帮助学生加深地理解数学分析等课程的相关知识。 通过本课程的教学，学生能够掌握复变函数论的基本知识、基本理论和基本方法，特别是解析函数的的概念和性质、复函数所构成的映射的基本性质等，了解复函数与实函数在概念、理论和性质等方面的差异。通过教学，使学生掌握复数的基本概念、复函数的概念、解析函数概念与性质、Cauchy定理与Cauchy公式、解析函数的级数展开、留数定理和幅角原理、解析开拓与共形映射等内容。 （四）教学内容 1．复数及复空间 （1）复数域；（2）复数的表示；（3）复数的运算；（4）不等式；（5）圆周和直线方程；（6）关于圆周的对称点；（7）复数的球面表示与扩充复平面。 重点：复数的表示；复数的运算。 难点：复数的球面表示与扩充复平面。 2．复平面的拓扑 （1）复平面上的开集与闭集；（2）完备性；（3）紧性；（4）连通性；（6）连续函数。 重点：复平面上的开集与闭集；连续函数。 难点：完备性；紧性。 3．复变解析函数与初等解析函数 （1）解析函数的的概念；（2）可导的充要条件；（3）导数的运算；（4）导数的几何意义；（5）基本初等函数；（6）儒可夫斯基函数；（7）分式线性变换。 重点：解析函数的的概念；可导的充要条件；分式线性变换。 难点：导数的几何意义 4．Cauchy定理与Cauchy公式 （1）积分；（2） Cauchy定理；（3） Cauchy积分公式；（4）变上限积分确定的函数；（5）最大模原理与Schwarz引理。 重点：Cauchy积分公式；最大模原理与Schwarz引理。 难点：Cauchy定理；最大模原理与Schwarz引理。 5．解析函数的级数展开 （1） 函数项级数；（2）幂级数与Taylor展开式；（3） Laurent级数与Laurent 展开式；（4）整函数与亚纯函数。 重点：幂级数与Taylor展开式；Laurent级数与Laurent 展开式 难点：整函数与亚纯函数。 6．留数定理和幅角原理 （1）留数定理；（2）辐角原理与Rouche定理；（3）求解析函数的零点数；（4）单叶解析函数的性质。 重点：留数定理；辐角原理与Rouche定理；求解析函数的零点数； 难点：辐角原理与Rouche定理；单叶解析函数的性质。 7．解析开拓与共形映射 （1）解析开拓的概念与幂级数解析开拓；（2）对称原理；（1）共形映射的例子；（2）边界对应定理。 重点：共形映射的例子 难点：解析开拓的概念与幂级数解析开拓；对称原理。 （五）教学实践环节安排 （六）教学方式与习题要求 本课程应由主讲教师进行讲授，可采用启发式或讨论式教学。不采用双语教学。本课程习题较难，且理论性较强，必须安排足够多的习题课时间，以帮助学生提高解题能力。 每上一堂课之后应让学生做一定量的练习。每堂课的作业量应根据所讲授的内容情况安排，一般每次4～6题。作业批改要认真，及时发现问题，以便在教学中加以解决。每次作业批改量要不少于三分之一。 （七）考核办法 本课程考核方式应采用卷面笔试，成绩评定应以考试成绩为主（不少于70%），适当计算平时成绩。 （八）推荐教材或讲议及主要参考书 1．方企勤编：《复变函数教程》，北京大学出版社 ，1996； 2．李锐夫、程其襄编：《复变函数论》，人民教育出版社， 1980； 3．钟玉泉源：《复变函数论》（第二版），高等教育出版社 。 （九）学时分配
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