§8 酉空间介绍  <<返回

一．复数域上一个线性空间的内积

定义14 设V是复数域上一个线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积,记作，它具有以下性质:

1) ，是的共轭复数;

2) ;

3) ;

4) 是非负实数,且当且仅当

例：在线性空间中，对向量

定义内积为,                           (1)

显然内积（1）满足定义14中的条件.这样就成为一个酉空间.

二．酉空间的重要结论（不证）

1)  .

2)  .

3) 叫做向量的长度，记为.

4)  柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量有,

当且仅当线性相关时等号成立.

注：酉空间中的内积一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入：

5) 向量，当时称为正交的或互相垂直.

在n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：

6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.

7）对n级复矩阵A，用表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.

两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.

8) 酉空间V的线性变换A，满足(A,A)=(,),就称为V的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.

9）如矩阵A满足则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间中令

A

则(A,)=(,A).A也是对称变换.

10）V是酉空间，是子空间，是的正交补，则

又设是对称变换的不变子空间，则也是不变子空间.

11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.

12）若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C，使是对角形知阵.

13）设A为埃尔米特矩阵，二次齐次函数

叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C，当时X=CY

.

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