<<返回
                                                                       §4 多项式的最大公因式

一 、多项式的最大公因式

1. 公因式:如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式.

2.定义6 设与是中两个多项式. 中多项式称为，的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件：

1）是与的公因式；

2），的公因式全是的因式.

例:对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.

引理 如果有等式                                   (1)

成立，那么，和，有相同的公因式.从而有相同的最大公因式.

3.公因式的存在性与性质

定理2 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使

.                    (2)

    证明:先证明，有一个为零的情形……

    一般情形下,用对做带余除法,若余式不为零,则用余式除除式,不断做下去,直至余式为零为止.最后一个除式即为最大公因式.

    为得(2)式,只要从后往前反推……

由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，即.

约定:若,不全为零,用（，）来表示首项系数是1的最大公因式.

4.定理证明中用来求最大公因式的方法­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­通常称为辗转相除法.

例 设,

求（，），并求使.

    (结果:公因式:.)

注：定理2的逆不成立.例如令,则.但不是与的最大公因式.

但是当(2)式成立，而是与的一个公因式，则一定是与的一个最大公因式.

二、多项式互素

1.定义7  中两个多项式，称为互素（或互质）的，如

2. 互素的充要条件

定理3  中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使.

    证明:必要性直接据定理2,充分性直接设…

3.互素的性质

定理4 如果，且,那么.

证明:要用定理3的公式,两边乘……

推论1 如果，且,那么.

证明:先设,再据定理4得……

推论2 如果,,那么

证明:反证,设,然后利用定理2列出公式即可看出……

3.推广

(1)概念推广

对于任意多个多项式，如果多项式满足

1）;

2）如果，那么.

则称为的一个最大公因式，

仍用表示首项系数为1的最大公因式.

(2)多个多项式的最大公因式的求法

易证的最大公因式存在，且全不为零时

=

(2)性质推广

<1>利用以上这个关系可以证明，存在多项式,使

如果，那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.

注:1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例,但,且.

2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如,,

,则,但.

3) 个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式

是互素的,但.

4)从数域过渡到数域时, 与的最大公因式本质上没有改变……

<2>其它性质的推广

1)若多项式与

互素，则.

2) 若多项式都整除，且两两互素，则.

3) 若多项式都与互素，则.

 瀚海代数精品课程网资源  （需要原word文档请联系：nchy_zouzij@163.com）